矩阵的相似对角化

定理 1 相似矩阵的特征值相同.

证 设 $A \sim B$, 则存在可逆矩阵 $P$, 使

$$B = P^{-1}AP,$$ $$\begin{aligned} \det(\lambda I - B) &= \det(\lambda I - P^{-1}AP) = \det[P^{-1}(\lambda I - A)P] \\ &= \det P^{-1} \det(\lambda I - A) \det P = \det(\lambda I - A), \end{aligned}$$

$A$ 与 $B$ 的特征多项式相同, 因此 $A$ 与 $B$ 的特征值相同.

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定理 2 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵 $\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$ 相似，则 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值。

证 因为 $A \sim \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$，所以 $A$ 与 $\Lambda$ 的特征值相同。又

$$\det(\lambda I - A) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)\cdots(\lambda - \lambda_n),$$

所以 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $\Lambda$ 的全部特征值，也就是 $A$ 的全部特征值。

定理 2 指出，若 $A$ 与对角矩阵 $\Lambda$ 相似，则 $\Lambda$ 的主对角线上的元就是 $A$ 的全部特征值。那么，使 $P^{-1}AP = \Lambda$ 的矩阵 $P$ 又是怎样构成的呢？

设 $P = (p_1, p_2, \cdots, p_n)$，$p_1, p_2, \cdots, p_n$ 是 $P$ 的列向量组，则

$$P^{-1}AP = \Lambda, \quad AP = P\Lambda,$$

即

$$A(p_1, p_2, \cdots, p_n) = (p_1, p_2, \cdots, p_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},$$ $$(Ap_1, Ap_2, \cdots, Ap_n) = (\lambda_1 p_1, \lambda_2 p_2, \cdots, \lambda_n p_n),$$ $$Ap_i = \lambda_i p_i \quad (i=1, 2, \cdots, n).$$

因为 $P$ 可逆，所以 $p_i \neq 0 (i=1, 2, \cdots, n)$，于是，$p_1, p_2, \cdots, p_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。

反之，若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $p_1, p_2, \cdots, p_n$，即 $Ap_i = \lambda_i p_i \quad (i=1, 2, \cdots, n)$，设 $P = (p_1, p_2, \cdots, p_n)$，则 $P$ 可逆，且

$$AP = (Ap_1, Ap_2, \cdots, Ap_n) = (\lambda_1 p_1, \lambda_2 p_2, \cdots, \lambda_n p_n)$$ $$= (p_1, p_2, \cdots, p_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} = P\Lambda,$$

所以 $P^{-1}AP = \Lambda$，即 $A$ 与对角矩阵 $\Lambda$ 相似。

由以上讨论可得

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定理 3 $n$ 阶矩阵 $A$ 能与对角矩阵 $\Lambda$ 相似的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

由此定理可知，若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量

$$Ap_i = \lambda_i p_i \quad (i=1,2,\cdots,n),$$

令 $P = (p_1, p_2, \cdots, p_n)$，则

$$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix},$$

$\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值。

值得注意的是，$P$ 中列向量 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 的排列顺序要与 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的排列顺序一致。

由于 $p_i$ 是 $(\lambda_i I - A)X = 0$ 的基础解系中的解向量，故 $p_i$ 的取法不是唯一的，因此 $P$ 也不是唯一的。而 $f_A(\lambda) = \det(\lambda I - A) = 0$ 的根只有 $n$ 个（重根按重数计算），所以若不计 $\lambda_i$ 的排列顺序，则 $\Lambda$ 是唯一确定的。

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定理 3 给出了 $n$ 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件,但是对于一个具体的 $n$ 阶矩阵,要直接判断它是否有 $n$ 个线性无关的特征向量一般是很困难的,下面我们进一步讨论什么样的 $n$ 阶矩阵能与对角矩阵相似.

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定理 4 设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 是矩阵 $A$ 的互异特征值, $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $A$ 分别对应这些特征值的特征向量,则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关.

证 用数学归纳法证明.

当 $m=1$ 时,结论显然成立. 因为特征向量 $\alpha_1 \neq 0$, 所以一个非零向量是线性无关的.

假设对 $m-1$ 个互异特征值结论成立.

设 $A$ 是一个线性变换（或矩阵），$m$ 个互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$。

考虑如下线性组合：

$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0. \tag{5.9}$$

用 $A$ 左乘等式 (5.9) 两端，得：

$$k_1(A\alpha_1) + k_2(A\alpha_2) + \cdots + k_m(A\alpha_m) = 0.$$

由于 $A\alpha_i = \lambda_i \alpha_i$，代入后得到：

$$k_1(\lambda_1\alpha_1) + k_2(\lambda_2\alpha_2) + \cdots + k_m(\lambda_m\alpha_m) = 0. \tag{5.10}$$

再用 $\lambda_m$ 乘以原式 (5.9) 两端，得：

$$k_1(\lambda_m\alpha_1) + k_2(\lambda_m\alpha_2) + \cdots + k_m(\lambda_m\alpha_m) = 0. \tag{5.11}$$

将式 (5.10) 与式 (5.11) 相减，即：

$$k_1(\lambda_1 - \lambda_m)\alpha_1 + k_2(\lambda_2 - \lambda_m)\alpha_2 + \cdots + k_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)\alpha_{m-1} = 0.$$

由归纳假设（即前 $m-1$ 个特征向量线性无关），可得：

$$k_1(\lambda_1 - \lambda_m) = k_2(\lambda_2 - \lambda_m) = \cdots = k_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m) = 0.$$

又因为特征值互异，所以 $\lambda_i - \lambda_m \neq 0$（对于 $i = 1, 2, \ldots, m-1$），故必须有：

$$k_1 = k_2 = \cdots = k_{m-1} = 0.$$

将这些结果代入式 (5.9)，得：

$$k_m\alpha_m = 0.$$

由于特征向量 $\alpha_m \neq 0$，所以 $k_m = 0$。

综上，所有系数均为零，因此：

$$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \quad \text{线性无关}.$$

推论 1 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值都是单重特征根, 则 $A$ 能与对角矩阵相似.

证 因为 $A$ 的特征值都是 $\det(\lambda I - A)=0$ 的单根, 所以 $A$ 有 $n$ 个互异特征值. 互异特征值对应的特征向量是线性无关的, 故 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 因而 $A$ 能与对角矩阵相似.

与定理 4 的证明类似, 我们可以得到下面的推论:

推论 2 设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 是矩阵 $A$ 的互异特征值, $\alpha_{i1}, \alpha_{i2}, \cdots, \alpha_{ir_i}$ 是对应于特征值 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量, 则 $\alpha_{11}, \cdots, \alpha_{1r_1}, \cdots, \alpha_{k1}, \cdots, \alpha_{kr_k}$ 也线性无关.

设 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部互异特征值, $\lambda_i$ 是 $A$ 的 $k_i$ 重特征值 $(k_i \geq 1)$, 则 $k_1+k_2+\cdots+k_r=n$. 若对每一个特征值 $\lambda_i (i=1,2,\cdots,r), (\lambda_i I - A)X=0$ 的基础解系由 $k_i$ 个解向量组成, 即 $\lambda_i$ 恰有 $k_i$ 个线性无关的特征向量, 则由推论 2 可知, $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 而 $(\lambda_i I - A)X=0$ 的基础解系所含解向量个数不大于 $k_i$, 故可得下面的定理:

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定理 5 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充要条件是对于 $A$ 的每一个 $k_i$ 重特征根 $\lambda_i$, 齐次线性方程组 $(\lambda_i I - A)X=0$ 的基础解系由 $k_i$ 个解向量组成.

$\lambda_i I - A$ 是齐次线性方程组 $(\lambda_i I - A)X=0$ 的系数矩阵, 由系数矩阵的秩与基础解系所含解向量的个数的关系可以得到定理 5 的一个推论.

推论 3 $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个 $k_i$ 重特征根 $\lambda_i$, $R(\lambda_i I - A)=n-k_i$.